Закат Европы
Шрифт:
(«Фауст», ч. 2. Перев. А. Фета).
Здесь соприкасаются Гете и Платон в предчувствии последней тайны. Матери, недоступность – идеи Платона – рисуют возможности душевности, ее нерожденные формы; они осуществились в видимом, с внутренней необходимостью упорядоченном мире, возникшем из идеи этой душевности в форме деятельной и созданной культуры как искусства, мысли, государства, религии. На этом покоится родство числовой системы определенной культуры с ее мировой идеей, и это отношение возвышает числовую систему над голым знанием и познанием до значения миросозерцания и приводит к тому, что существует столько математик – миров чисел, – сколько высших культур. Тогда только становится понятным и необходимым то явление, что величайшим математическим мыслителям, творческим художникам в царстве чисел, в глубоко религиозной интуиции удалось найти решение математических проблем соответствующих культур.
Только Диофант, как обычно утверждают, освободил античную арифметику из ее чувственного плена, расширил и развил и создал алгебру как учение о неопределенных величинах. Но это, конечно, не обогащение, а полное преодоление античного мироощущения; Диофант, следовательно, внутренне не принадлежит уже греческой культуре. В нем проявляется новое чувство числа или, мы сказали бы, чувство границы, в противоположность всему действительному, ставшему; это уже не эллинское чувство числа, из осязательно данной предельности которого развилась рядом с Эвклидовой геометрией чувственных тел также и подражающая ей пластика обнаженной статуи. Мы не знаем подробностей создания этой новой математики. Под видом желания следовать Эвклидовым путям мысли у Диофанта всплывает то новое чувство границы – я называю егомагическим, – которое совершенно не сознает своей противоположности античному взгляду. Идея числа как величины не расширена, а незаметно уничтожена. Что такое неопределенное число а или отвлеченное число 3 (то и другое не величина, не мера, не отрезок) – этого грек совершенно не мог представить. В основе диофантовского исследования лежит, во всяком случае, новое чувство границы, воплощенное в этих типах чисел; даже привычное для нас буквенное счисление, в форме которого является теперешняя алгебра, между прочим вновь совершенно переделанная, было введено Вьета только в 1591 году; здесь сказалась яркая, сознательная оппозиция к эллинизированному счислению эпохи Возрождения.
Диофант жил в 250 году до Р. X., то есть в третьем столетии арабской культуры, исторический организм которой в то время был погребен под внешними формами Рима времен императоров и «средневековья»; ей принадлежит все, что с начала нашего летосчисления возникло на территории рождающегося ислама. Тогда же угасла последняя тень античной пластики статуй перед лицом нового чувства пространства, проявленного в базиликах, в мозаике и в рельефах саркофага раннего христианско-сирийского стиля. Тогда снова появилось архаическое искусство и строго геометрический орнамент. Тогда именно Диоклетиан создал халифат на месте ставшего уже призрачным римского государства. Пятьсот лет лежит между Эвклидом и Диофантом, между Платоном и Плотином, последним замыкающим мыслителем (Кантом) заканчивающейся культуры и первым мистическим духом (Данте) культуры едва пробуждающейся.
Здесь затрагиваем мы впервые незнакомый еще нам феномен тех великих индивидуальностей, чье становление, рост и увядание под пестрой обманчивой оболочкой скрывает настоящую субстанцию всемирной истории.
Витающая в римском духе античная душевность, «телом» которой является историческая действительность античной культуры, с ее творениями, мыслями, делами и развалинами, была порождена в 1100 году до Р. X. страной эгейского моря. Зарождающаяся во время Августа под покровом античной цивилизации арабская культура ведет свое происхождение из области между Нилом и Евфратом, Каиром и Багдадом. Как выражение этой новой души, надо рассматривать почти все «позднеантичное» искусство времен императоров, все вообще исполненные молодого пыла культы Востока, культ Митры, Сераписа, Гора, Исиды, сирийских Ваалов из Эмесы и Пальмиры, христианство и неоплатонизм, императорский форум в Риме и выстроенный сирийцем Пантеон, самая ранняя из мечетей.
Что тогда по-гречески писали и как будто по-гречески мыслили, имеет не больше значения, чем тот факт, что наука Запада включительно до Канта предпочитала латинский язык или что Карл Великий «восстановил» римское государство.
У Диофанта число не является больше мерой и сущностью пластических вещей. На равеннских мозаиках человек уже не тело. Греческие обозначения незаметно потеряли свое изначальное содержание. Мы выходим из сферы аттической «калокагатии», стоической «атараксии» и «галэны». Правда, Диофант еще не знает нуля и отрицательных чисел, но он уже не знает пластических единиц пифагорейских чисел. С другой стороны, неопределенность отвлеченных арабских чисел является чем-то совершенно иным, чем закономерная изменчивость позднейшего западноевропейского числа, функции.
После Диофанта, который до себя уже предполагает известное развитие, магическая математика, алгебра, хотя нам неизвестны подробности, развивалась логически и в главных чертах – до завершения, в эпоху Аббасидов IX столетия, как показывает уровень знания у Альхварижди и Альсиджи. Тогда лишь начинается, снова спустя полтысячелетия, в новой, отдаленной
стране великий процесс перетолкования этого магического, переданного нам испанскими арабами мира чисел в функциональный мир Западной Европы; начинается могучая борьба против внедряющегося чуждого мироощущения, с его внутренне законченным истолкованием пространства, которое должна была отразить и сломить юная готическая душа, чтоб не дать погибнуть своей собственной сущности; отсюда – скрытая борьба во всех произведениях архитектуры, каждом фасаде, каждом орнаменте, каждом символе, в каждой метафизической и математической проблеме; глухое величие этой борьбы никогда еще не было почувствовано.Чем была Эвклидова геометрия в отношении к античной пластике – тот же язык форм, но в другом одеянии, – чем был анализ пространства в отношении к стилю фуги инструментальной музыки, тем же была эта алгебра в отношении к магическому искусству мозаики, к все богаче развивающимся арабескам начиная с эпохи Сасанидов и позднее Византии, с их чувственно-нечувственным претворением органического мотива форм горельефа Константиновского стиля, с его свободно выполненными фигурами на фоне глубокого сумрака заднего плана. Как алгебра относится к античной арифметике и западноевропейскому анализу, так же относится увенчанная куполом базилика к дорическому храму и готическому собору.
Нельзя сказать, чтобы Диофант был великим математиком. Самое важное, что связано с его именем, не написано в его работах, а то, что в них написано, вероятно, не вполне оригинально. Его случайное значение состоит в том, что – насколько мы знаем – он был первым, несомненно обладавшим новым чувством числа. В противоположность великим мыслителям, замыкающим известную математику, как Аполлоний и Архимед – античную и соответственно им Гаусс, Коши и Риман – западноевропейскую, мы встречаемся у Диофанта и Менелая с чем-то примитивным, что до сих пор охотно называлось декадансом. В будущем научатся понимать и оценивать этот декаданс в духе той переоценки, которую следует сделать в отношении к так называемому позднеантичному искусству, рассматривая его как ощупью идущее проявление только что пробуждающегося раннеарабского мироощущения. Впечатление такой же примитивной, архаичной и полной искания науки производит математика Николая Орема, епископа в Лизье (1323–1382), впервые применившего некоторое подобие координат и даже дробные показатели степеней, а это предполагает, еще неясно, но уже несомненно, такое чувство числа, которое оказывается совершенно неантичным, но в то же время и не арабским. Если рядом с Диофантом вспомнить о раннехристианском саркофаге римских коллекций и, рядом с Оремом, о готических одетых статуях немецкого собора, то можно заметить что-то родственное и в ходе математической мысли, представляющей у обоих математиков одну и ту же раннюю ступень интеллекта. Совершенно утратилось стереометрическое чувство границы в его последней утонченности и элегантности. Все было настроено глухо, томительно, мистично, а не аттически светло и свободно. В центре стоял из земли рожденный, первобытный человек, а не человек великих городов, подобно Эвклиду и Да-ламберу. Уже не понимались больше глубокие и сложные образы античного мышления, их заменили спутанные, новые, ясное интеллектуально-городское рассмотрение которых еще не было найдено. Это – готическое состояние всех молодых культур; оно было пройдено и античным миром в его раннедорическое время, от которого ничего не осталось, кроме погребальных урн дипилонского стиля. Только в Багдаде, в IX и X веках, концепции эпохи Диофанта были проведены и закончены зрелыми умами, не уступавшими Платону и Гауссу.
Решающее значение Декарта, геометрия которого появляется в 1637 году, состоит вовсе не в введении новой методы или наглядности в область традиционной геометрии, как это постоянно высказывается, но в окончательной новой числовой концепции, новой идее числа, которая выразилась в полном освобождении геометрии от наглядной осязательной конструкции, от измеренных и измеримых отрезков. Этим самым анализ бесконечно малых стал фактом. Застывшая так называемая картезианская система координат – идеальный представитель измеримых величин в полуэвклидовском смысле, – которая в предшествующий период, у Орема например, приобрела уже некоторое значение, была Декартом не завершена, но преодолена, если проникнуть в глубину его рассмотрений. Современник Декарта, Ферма, был ее последним классическим представителем.
На место чувственного элемента конкретного отрезка и плоскости – специфического выражения античного чувства границы – стал абстрактно-пространственный, не античный элемент точки, который с тех пор характеризуется как группа соподчиненных чистых чисел. Декарт разрушил литературно унаследованное понятие величины, чувственного измерения и заменил его переменным значением отношений положения в пространстве. Что это было устранением геометрии вообще, которая с тех пор, в числовом мире анализа, стала влачить жалкое существование, подернутое дымкой античных воспоминаний, – это совершенно упустили из виду. Слово «геометрия» имеет неустранимый аполлоновский смысл. Начиная с Декарта мнимо «новая геометрия» оказывается или синтетическим процессом, который определяет посредством чисел положения точек уже не только в трехмерном пространстве («точечные множества»), или аналитическим, который определяет числа посредством положения точек. Заменить отрезки положениями – значит рассматривать понятие протяжения чисто пространственно, а не телесно.
Классическим примером этого разрушения унаследованной геометрии наглядного и конечного представляется мне обращение угловых (тригонометрических) функций – они были в едва доступном для нас смысле числами индийской математики – в функции циклометрические (круговые) и дальнейшее их разложение в ряды, которые в бесконечном царстве чисел алгебраического анализа утратили всякое воспоминание о геометрических образованиях эвклидовского стиля. Число я и основание натуральных логарифмов число е, всюду всплывая в этой области чисел, порождают отношения, которые стирают все границы прежней геометрии, тригонометрии, алгебры, которые не имеют ни геометрической, ни арифметической природы, ибо здесь никто уже не думает о действительно нарисованных кругах или вычисляемых степенях.